[2016년 백마고]

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[1학년 1학기 중간]

두 다항식 [eqn: A=x^2 +xy-y^2], [eqn: B=-x^2 -2xy+y^2]에 대하여
[eqn: LEFT ( 2A+B RIGHT )- LEFT ( A-2B RIGHT )]를 간단히 하면?

⑤

① [eqn: x^2 -6xy+3y^2]	② [eqn: 2x^2 +5xy+y^2]

③ [eqn: 2x^2 +3xy-2y^2]	④ [eqn: -x^2 +6xy-2y^2]

⑤ [eqn: -2x^2 -5xy+2y^2]

[eqn: a^3 -b^3 =28], [eqn: a-b=4]일 때, [eqn: ab]의 값은?

②

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=-x^2 +2x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-m]이 접하도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over { 4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1 } over { 4}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: 2x^3 +3x^2 -5x+2]를 [eqn: 2x+1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: ax^2 +bx+c]라 하고, 나머지를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: a-b-c-d]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수)

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 길이가 [eqn: 20]인 철망으로 직사각형 모양의 울타리를 만들려고 한다. 울타리로 둘러싸인 바닥의 넓이의 최댓값은?

③

① [eqn: 42]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 100]

삼차방정식 [eqn: x^3 + LEFT ( 2a-3 RIGHT )x^2 + LEFT ( a^2 -4a+2 RIGHT )x-2a^2 =0]이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

④

① [eqn: a< { 1} over {2 }]	② [eqn: a< { 1} over {4 }]	③ [eqn: a> { 1} over {2 }]

④ [eqn: a> { 1} over {4 }]	⑤ [eqn: a< -{ 1} over {4 }]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: { 1} over { alpha }+ { 1} over { beta }=2]

ㄴ. [eqn: alpha beta^2 + alpha^2 beta =-2]

ㄷ. [eqn: alpha ^{5} + beta ^{5} - LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT ) =2 LEFT ( alpha ^{4} + beta ^{4} RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

복소수 [eqn: z=x^2 i + x LEFT ( 2-i RIGHT )-2 LEFT ( 3+i RIGHT )]에 대하여 [eqn: z^2]이 실수가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은? (단, [eqn: i=sqrt { -1}])

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

등식 [eqn: {1} over {i} + {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} + CDOTS + {1} over {i ^{n}} =-i]가 성립하도록 하는 [eqn: 150] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: i=sqrt { -1}])

②

① [eqn: 37]개	② [eqn: 38]개	③ [eqn: 39]개

④ [eqn: 40]개	⑤ [eqn: 41]개

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 등식 [eqn: LEFT ( x^4 -1 RIGHT )f LEFT ( x RIGHT )=2x^6 +ax^3 +b]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-2b]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=-x^2 +ax-b]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: b<0]

ㄴ. [eqn: a^2 -4b<0]

ㄷ. [eqn: LEFT ( a-b-1 RIGHT ) LEFT ( a+b+1 RIGHT )<0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

삼차방정식 [eqn: x^3 -1=0]의 근 중 허수부분이 양수인 근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: {1} over {1+ omega + omega ^{2} + omega ^{3} + CDOTS + omega ^{100}}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}])

④

① [eqn: -1+ sqrt { 3} i]	② [eqn: -1- sqrt { 3} i]	③ [eqn: { 1+ sqrt { 3}i } over {2 }]

④ [eqn: { 1- sqrt { 3}i } over {2 }]	⑤ [eqn: -{ 1+ sqrt { 3}i } over {2 }]

이차방정식 [eqn: x^2 + LEFT ( m-2 RIGHT )x+m+1=0]의 근이 모두 정수가 되도록 하는 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 28]

연립방정식 [eqn: cases{ 3x^2 -2xy+y^2 =8& # 2x^2 +xy-y^2 =8 & }]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]라고 할 때, [eqn: alpha ^{2`} + beta ^{2}]의 최댓값은?

④

① [eqn: { 16} over {9 }]	② [eqn: 4]	③ [eqn: { 40} over {9 }]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 삼차다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: P LEFT ( a RIGHT )=P LEFT ( b RIGHT )=P LEFT ( c RIGHT )=0], [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT )=24]를 만족할 때, [eqn: a+b+c]의 최댓값은?

③

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a^3 +a^2 b -ab^2 -ac^2 +bc^2 -b^3 =0]
을 만족하는 삼각형은 어떤 삼각형인가?

①

① [eqn: a=b]인 이등변삼각형

② [eqn: b=c]인 이등변삼각형

③ [eqn: c]가 빗변인 직각삼각형

④ [eqn: a=b]인 직각이등변삼각형

⑤ 정삼각형

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다음 두 조건을 만족시킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT )=f LEFT ( 1+x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 두 점 [eqn: (-2,```-2)], [eqn: (2,```6)]을

지난다.

ㄱ. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x=1]에 대하여

대칭이다.

ㄴ. [eqn: x LEQ 0]일 때, 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

ㄷ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=f LEFT ( x+1 RIGHT )]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )+g LEFT ( -x RIGHT )=0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

서술형

다음 식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: LEFT ( a ^{2} -2ab+3b ^{2} RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +2ab+3b ^{2} RIGHT )]

(2) [eqn: LEFT ( 2x+y-2 RIGHT ) LEFT ( x-y-1 RIGHT )]

(1) [eqn: a ^{4} +2a^2 b^2 +9b^4]

(2) [eqn: 2x^2 -xy-y^2 -4x+y+2]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

(가) 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=0]의 두 근의 합은 [eqn: 5]이다.

(나) 이차방정식 [eqn: x^2 -x-1=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에

대하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )+f LEFT ( beta RIGHT )=0]이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +5x+3=ax+b]가 두 양의 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하고, 그 때의 [eqn: alpha^2 + beta^2]의 최솟값을 [eqn: q]라고 하자. 이때 [eqn: pq]의 값을 구하시오. (단, [eqn: b]는 실수)

[eqn: 3]

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